Zjednodušený model výpočtu teplovodního podlahového vytápění

V současné době drtivá většina projektantů používá, pro návrh stále rozšířenějšího teplovodního podlahového vytápění, software vesměs distribuovaný firmou dodávající příslušné komponenty tohoto systému vytápění. Nespornou výhodou použití firemního softwaru je to, že kromě samotného návrhu podlahové otopné plochy je současně řešena specifikace materiálu, jeho ocenění a mnohdy i grafický výstup kladení podlahových topných hadů. Většina uživatelů tohoto příslušného softwaru však není seznámena s algoritmy vedoucími k návrhu podlahového vytápění.
Autor následujícího příspěvku velice přehledně a srozumitelně uvádí zjednodušený postup návrhu podlahové otopné plochy na základě jednoduchých fyzikálních principů. Umožňuje tak následnou, poměrně snadnou, kontrolu výsledků, získaných použitím firemního softwaru, s hodnotami stanovenými na základě tohoto příspěvku.

Recenzent: Zdeněk Číhal

V současné době je možné pro návrh podlahové otopné plochy využít několik metod. Z hlediska norem je v ČR v platnosti norma ČSN EN 1264. Tato evropská norma má celkem pět částí a popisuje zabudované vodní velkoplošné otopné a chladicí soustavy. Pro teplovodní velkoplošné vytápění jsou základními parametry hodnoty tepelného výkonu podlahové plochy směrem do vytápěné místnosti, tepelný výkon do místnosti pod soustavou podlahového vytápění a celkový tepelný výkon podlahové plochy. Podrobný postup výpočtu lze najít např. v [L 2 nebo L 3]. Nicméně norma ČSN EN 1264 také zavádí požadavky na referenční zkušební vzorky a na verifikaci zkušebních zařízení a výpočetních programů.

Využívání různých výpočetních programů, které mohou projektantům usnadnit práci, obnáší celou řadu rizik. Nejčastější prohřešky souvisí s neznalostí postupů nebo metod výpočtů daného softwaru. Pro správné používání takových programů je proto nutné uživatele podrobně seznámit jak s možnostmi zadávání vstupních parametrů, tak zejména s postupem při vyhodnocení výstupu z takového softwaru. Nesprávná prezentace dosažených výsledků, spolu s neznalostí základních fyzikálních principů uživatele tak vedou často k výrazným chybám ve výpočtech, které ovšem nejsou způsobeny výpočetním programem.

Cílem příspěvku je přiblížit čtenáři tzv. zjednodušený postup návrhu podlahové otopné plochy, na základě kterého je možné sestavit jednoduchý výpočetní software. Výsledky lze využít jak pro další práci, tak i k ověření, zda pro návrh zpracovaný s využitím komplexního programu byly použity vhodné údaje. Základem je stanovení měrného tepelného výkonu podlahové otopné plochy q s ohledem na fyziologicky přípustnou střední povrchovou teplotu podlahové plochy t_p.

Postup výpočtu

Průřez skladby podlahového vytápění je znázorněn na obr. 1. Z obr. 1 je vidět, že nejvyšší povrchová teplota podlahy je v místě umístění rozvodných trubek. Naopak nejnižší povrchová teplota podlahy je uprostřed mezi trubkami (černá křivka v grafu na obr. 1).

Pro zjednodušení výpočtu lze předpokládat jednorozměrné vedení tepla, kdy průběh teploty v desce s válcovými zdroji tepla, je možné řešit stejně jako průběh teploty při vedení tepla v tyči zahřívané na konci na stálou teplotu (červená přímka v grafu na obr. 1) [L 1]. Průběh teploty v tyči zahřívané na konci na konstantní teplotu vyjadřuje diferenciální rovnice

kde

• m charakteristické číslo [m^–1].

Charakteristické číslo závisí zejména na tepelné vodivosti desky a na intenzitě ochlazování horní a spodní vrstvy. Původní řešení rovnice (1) stanovil Kalous v roce 1937 tak, že nahradil válcové zdroje tepla (trubky), přímkovým zdrojem (úsečkou ve středu trubky). Nicméně pro otopné desky s trubkami tento předpoklad platí pouze částečně. V roce 1957 Kollmar upravil řešení rovnice (1) při respektování sdílení tepla z povrchu trubky (viz obr. 1) jako

kde

• t_p střední povrchová teplota podlahové plochy [°C],
• t_m střední teplota otopné vody [°C],
• t_i výpočtová vnitřní teplota [°C],
• m charakteristické číslo podlahy [m^–1],
• L_a tepelná propustnost vrstev nad trubkami [W/m²·K],
• a_p celkový součinitel přestupu tepla na povrchu otopné plochy [W/m²·K],
• l rozteč trubek [m].

Rovnice (2) platí za předpokladu, že po obou stranách podlahy je stejná teplota t_{i = t}¢_i. Tento vzorec však lze s dostatečnou přesností použít i v případě, kdy t_i ¹ t¢_i (např. instalace podlahového vytápění v patře budovy nad nevytápěným prostorem apod.). Výpočet tepelného toku vrstev pod trubkami je zohledněn dále, a sice ve vzorcích (9) a (10). Přesné matematické vyjádření lze pak najít např. v [L 1]. Charakteristické číslo podlahy při respektování válcového tvaru potrubí se vypočítá ze vztahu

kde

• L_a tepelná propustnost vrstev nad trubkami [W/m²·K],
• L_b tepelná propustnost vrstev pod trubkami [W/m²·K],
• l_vr součinitel tepelné vodivosti materiálu, do kterého jsou zality trubky [W/m·K],
• d vnější průměr trubek [m].

Tepelnou propustnost vrstvy nad trubkami lze vyjádřit jako

kde

• s_i tloušťka jednotlivých vrstev nad osou trubek [m],
• l_i součinitel tepelné vodivosti jednotlivých vrstev nad osou trubek [W/m·K],
• a_p celkový součinitel přestupu tepla na povrchu otopné plochy [W/m²·K].

Tepelnou propustnost vrstvy pod trubkami lze vypočítat obdobně, a sice jako

kde

• R_str tepelný odpor konstrukce pod vrstvou trubek [m²·K/W],
• a¢_p součinitel přestupu tepla na spodní straně otopné podlahy (obvykle se volí a¢_p = 8 W/m²·K).

V případě instalace podlahové otopné plochy nad přilehlou zeminou je nutné rozlišit zda se jedná o přilehlou zeminu v přízemí budovy (tj. budova není podsklepena), nebo zda je podlahová otopná plocha umístěna v suterénu podsklepené budovy (viz text dále). Pro obě varianty se výpočet tepelné propustnosti vrstvy pod trubkami upraví do vztahu

 

kde

• R_zeminy tepelný odpor zeminy [m²·K/W].

Tepelný odpor zeminy je závislý na konkrétním typu zeminy. V normě ČSN EN ISO 13 370 jsou uvedeny hodnoty součinitele tepelné vodivosti pro typy zeminy, jako jsou hlíny a jíly, písky a štěrky, nebo stejnorodá skála. Z pohledu požadované přesnosti výpočtu lze pro zjednodušený model ale použít hodnotu R_zeminy = 1,11 [m2·K/W] (viz starší norma ČSN 06 0210). S ohledem na používané skladby podlah, kde výslednou hodnotu tepelného odporu konstrukce přilehlé k zemině tvoří hlavně tloušťka tepelné izolace, je rozptyl nejistot výsledku v případě použití hodnot R_zeminy od 0,5 do 2 [m^{2·K/W] cca 2 %.}

Celkový součinitel přestupu tepla na povrchu otopné plochy se vypočítá ze sdíleného tepelného toku sáláním a konvekcí při známé povrchové teplotě podlahy a přibližné rovnosti teploty vzduchu v místnosti a střední radiační teploty.

kde

• e_pod emisivita povrchu podlahy (pro výpočet je zvolena 0,95) [–],
• c₀ součinitel sálání absolutně černého tělesa [c₀ = 10⁸·s = 5,67 W/m²·K^4],
• t_p povrchová teplota podlahové plochy [°C],
• t_i teplota vzduchu [°C].

Další výpočty jsou založeny na volbě střední povrchové teploty podlahy. Hlavním výkonovým parametrem je pak měrný tepelný výkon q, při fyziologicky přípustné střední povrchové teplotě podlahové plochy t_p. Střední povrchová teplota podlahové otopné plochy nemá z fyziologických důvodů překročit hodnotu:

• t_p = 27 až 28 °C
  u místností pro trvalý pobyt (obytné místnosti, kanceláře),
• t_p = 30 až 32 °C
  u pomocných místností, kde člověk jen příležitostně přechází (předsíně, chodby, schodiště),
• t_p = 32 až 34 °C
  u místností, kde člověk převážně chodí bos (plovárny, lázně, koupelny).

Při daných výchozích teplotách t_m a t_i závisí střední povrchová teplota t_p především na rozteči trubek l. Měrný tepelný výkon otopné plochy lze vypočítat ze vztahu:

Měrný tepelný výkon podlahové otopné plochy směrem dolů (resp. měrná tepelná ztráta podlahové otopné plochy směrem dolů), pokud je pod instalovanou podlahovou otopnou plochou místnost, lze přibližně stanovit:

 

Při rozdílných teplotách na obou stranách podlahy t_i ^¹ t¢_i se počítá měrný tepelný výkon na spodní straně podlahy ze vztahu

kde

• t¢_i  teplota v místnosti pod instalovanou podlahovou otopnou plochou [°C].

Při instalaci podlahové otopné plochy nad přírodní terén (např. v přízemí nebo suterénu budovy), lze měrný tepelný výkon na spodní straně podlahové otopné plochy vypočítat zjednodušeně podle rovnice 11.

kde

• t_z  teplota přilehlé zeminy pod podlahou [°C].

Ve starší normě pro výpočet tepelných ztrát (ČSN 06 0210) je uváděna hodnota teploty přilehlé zeminy pod podlahou t_z = 5 °C. Tato hodnota odpovídá málo tepelně izolovaným podlahám. Pro standardní skladby podlah nad terénem v souladu s ČSN 73 0540-2 (2011), které mají výrazně větší tloušťku tepelné izolace, lze teplotu zeminy uvažovat cca t_z = 3 °C [L4] (tato hodnota je v programu uvažována pro nepodsklepené budovy). U podsklepených domů je teplota zeminy přilehlá k podlaze odvislá od hloubky, ve které se podlaha nachází. Pro výpočty zjednodušeného modelu je uvažováno s teplotou t_z = 5 °C.

Tepelný výkon podlahové otopné plochy Q_p je dán vztahem:

 

kde

• S_p skutečná podlahová plocha otopného hadu [m²].

Skutečný celkový tepelný výkon otopné plochy Q_pc je vyšší o tepelný tok, který sdílí okrajová plocha u zdi, ve které nejsou položeny trubky. V praxi se může jednat o nárůst tepelného výkonu v rozsahu od 5 % do 30 %. Šířka okraje r, respektive vzdálenost krajní trubky otopného hadu od stěny, závisí na charakteristickém čísle podlahy m, což vyjadřuje empirický vztah

Tepelný výkon okrajové plochy Q_o je vyjádřen vztahem

 

kde

• O_p obvod otopné podlahové plochy vymezený krajními trubkami [m],
• S_p otopná podlahová plocha ohraničená krajní trubkou [m^2].

Vliv nábytku na vysokých nohách je možné zanedbat. V ploše pod nábytkem s nízkýma nohama se výkon podlahové otopné plochy snižuje o cca 50 % a u nábytku se soklem se plocha odečítá. Celkový tepelný výkon instalované podlahové otopné plochy je pak

[image.18]

Vyhodnocení

Pro srovnání byl proveden výpočet návrhu podlahové otopné plochy pro ložnici v přízemí rodinného domu, jejíž celková tepelná ztráta činila 768 W, pro vnitřní výpočtovou teplotu 20 °C a venkovní výpočtovou teplotu –15 °C. Celková plocha místnosti byla 14 m². V místnosti byly navrženy dva topné okruhy, přičemž ve vzdálenosti 0,6 m od ochlazované konstrukce byla navržená zhuštěná okrajová zóna (obr. 2).

Obr. 2 • Půdorys posuzované místnosti (1.1 – plocha 6,8 m², rozteč pokládky 0,15 m; 1.2 – plocha 7,2 m²)

Skladba podlahy odpovídá tzv. mokrému způsobu pokládky (obr. 3), kdy do vrstvy cementového potěru byly vkládány různé systémové desky výrobců podlahových systémů.

Výpočty byly srovnány s výsledky dosaženými postupem dle ČSN EN 1264-2 [L3], použitím programu TechCON [L3] a zjednodušeným výpočtovým modelem programu PV_1.1.

Pozn.: Vstupním parametrem pro výpočet v softwaru TechCON je teplota přívodní vody (byla volena 39 °C), jedním z výstupů je pak povrchová teplota podlahy (cca 24,7 °C resp. 25,3 °C). Software PV_1.1 umožňuje výstup v podobě potřebné rozteče potrubí nebo střední teploty otopné vody, vždy při konkrétním požadavku povrchové teploty podlahy. Z hlediska porovnatelnosti byla teplota povrchu podlahy v programu PV_1.1 volena v souladu s výstupem programu TechCON (tj. 24,7 °C a 25,3 °C pro zhuštěnou pokládku otopného hadu v okrajové zóně).

Závěr

Jak vyplývá z uvedených hodnot tab. 2, tak tepelný výkon podlahové otopné plochy vypočtený podle ČSN 1264-2 vychází cca o 15 až 20 % vyšší, ve srovnání s výpočtovým softwarem. Rozdíl je dán metodikou výpočtu. U normy ČSN EN 1264-2 je výpočet založen na definici typu otopné soustavy a celé řadě součinitelů a exponentů. Pro soustavy neodpovídající těmto definicím norma nabízí tzv. zkušební metodu.

Oproti tomu výpočet podle výše uvedeného postupu odpovídá základním fyzikálním principům. Výpočet měrného tepelného výkonu podlahy je založen na fyziologicky přípustné střední povrchové teplotě podlahové plochy. Software PV_1.1 stanovuje skutečný celkový tepelný výkon otopné plochy Q_PC jako součet tepelného výkonu podlahové otopné plochy a zároveň tepelného výkonu okrajové plochy u zdi, ve které nejsou položeny trubky. Proto při srovnání v tab. 1 jsou hodnoty měrného tepelného toku směrem nahoru výrazně nižší u softwaru PV_1.1. při porovnání s ostatními postupy. Nicméně rozdíly vypočteného celkového tepelného výkonu podlahy (tab. 2) jsou u obou po­užitých softwarů cca 7 až 9 %.

Literatura

[1] Cihelka, J., a kolektiv: Vytápění a větrání. Vydavatelství SNTL, 1975. 704 s. ISBN 04-216-75.
[2] Bašta, J., Vavřička, R.: Otopné plochy – cvičení. Vydavatelství ČVUT, 2005. 109 s. ISBN 80-01-03344-9.
[3] Burgáň, J., Petráš, D.: Výpočet a návrh teplovodního podlahového vytápění. In: TZB Haustechnik, 2011, roč. 4, č. 3, s. 10–13. ISSN 1803-4802.
[4] Jiránek, M., Svoboda, Z.: Teplotní pole v zemině pod objekty. In: Tepelná ochrana budov, 2002, roč. 5, č. 6, s. 16–21. ISSN 1213-0907.
[5] Šesták, J., Bukovský, J., Houška, M.: Tepelné pochody – transportní a termodynamická data. Vydavatelství ČVUT, 1998. 254 s. ISBN 80-01-01795-8.
[6] Rohsenow, W., Hartnett, J., Cho, Y.: Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill: New York. 1998. 1517 s. ISBN 0-07-053555-8.

---

A simplified calculation model of hot water floor heating system

Author compares the calculation of floor heating systems in corporate programs with a simplified method of calculation. Simplified calculation method is presented in the article. The simplified method can be used to verify the calculation results.

Keywords: floor heating, calculation